ระบบจำนวน~*

ระบบจำนวน (Real Number)  

 

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ

1.   ระบบจำนวนจริง (Real Number System)

2.   ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

จำนวนเชิงซ้อน

 


    ระบบจำนวนจริง                              ระบบจำนวนจินตภาพ

       จำนวนตรรกยะ                                 จำนวนอตรรกยะ

 


               จำนวนเต็ม                                    จำนวนเศษส่วน

  จำนวนเต็มลบ                จำนวนเต็มศูนย์               จำนวนเต็มบวก

 

จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹0  จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ คือ

1.    จำนวนเต็ม (Integer)

2.    เศษส่วน (Fraction)

3.    ทศนิยม (Repeating decimal)

จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ  b  เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹0   หรือจำนวน

อตรรกยะคือ  จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.    จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่น เป็นต้น

2.    จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้วpเป็นเลข

อตรรกยะ

                สิ่งที่ควรทราบ

                   จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน

        รากที่สอง(Square root )

                นิยาม  กำหนดให้ a แทนจำนวนจริงบวกใด หรือ  ศูนย์ รากที่สองของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ a

1.    ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มี 2 รากคือ

2.    ถ้า a = 0 รากที่สองของ a คือ 0

  การหารากที่สอง

1.  การหารากที่สองโดยแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1  จงหารากที่สองของ 64

วิธีทำ   64 = 2 x2x2x2x2x2   =    8 x 8   =  82

        หรือ 64 = (-8) x (-8)  =  (-8) 2   

        ดังนั้น รากที่สองของ 64 คือ 8 และ -8

 

 

 

 

2.  การหารากที่สองของเลขจำนวนเต็มบวกโดยการตั้งหาร

ขั้นตอนการหารากที่สองโดยการตั้งหาร

         

1.  แบ่งตัวเลขเป็นชุด ๆชุดละ 2 หลัก จากขวาไปซ้ายโดยใช้เครื่องหมาย , คั่น

       

2.  ตั้งหารยาว

                           

3.  หาจำนวนเต็มบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับหรือใกล้เคียงเลขชุดที่อยู่ซ้ายมือสุดใส่เลขดังกล่าวไว้ที่ตัหารและผลลัพธ์

          

4.  นำตัวหารและผลลัพธ์ในข้อ 3 มาคูณกันแล้วนำไปลบออกจากเลขชุดที่อยู่ด้านซ้าย

                  

5.  ดึงตัวเลขชุดที่ 2 จากซ้ายมือมารวมกับผลลัพธ์ในข้อ 4

          

6.  นำ 2 คูณผลลัพธ์ที่ได้นำมาเป็นตัวหารตัวใหม่โดยเว้นที่ว่างไว้ 1 ช่องทางขวามือและที่ผลลัพธ์อีก 1 ช่อง

            

 

7.  หาตัวเลขมาใส่ไว้ในช่องว่างที่เตรียมไว้ในข้อ 6 ( ผลคูณของตัวเลขที่นำมาใส่กับตัวหารจะต้องมีค่าใกล้เคียงกับค่าที่ได้ในข้อ 5 )

      

8.  นำตัวเลขจากข้อ 7 ไปคูณตัวหาร แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้ไปลบออกจากค่าในข้อ 5

     

9.    ถ้าผลลัพธ์ในข้อ 8 เป็น 0 แสดงว่าการหารค่ายุติ  แต่ถ้าผลลัพธ์ในข้อ 8 ไม่เป็น 0 ให้ทำตามขั้นตอนในข้อ 5 ไปตามลำดับ

 

 

   

10.  ตรวจสอบคำตอบ โดยนำผลลัพธ์ที่ได้มายกกำลังสอง แล้วพิจารณาค่าที่ได้ใกล้เคียงกับค่าที่ต้องการหรือไม่

 

 

3.    การหารรากที่สองของทศนิยม โดยการตั้งหาร

        มีหลักเหมือนการหารากที่สองของเลขจำนวนเต็มทุกประการ  จะแตกต่างกันก็แต่เพียงการแบ่งเลขเป็นชุด หลังจุดทศนิยมจะแบ่งจากซ้ายไปขวา (โดยเริ่มจากจุดทศนิยม) ครั้งละ 2 หลัก โดยมีเครื่องหมาย ,  คั่นเช่นกัน      ลองทำดูนะคะเช่น  จงหาราที่สองของ 10.58  =  3.2527  เป็นต้น 

               

รากที่ 3 (Cube root )

นิยาม  ให้ a แทนจำนวนจริงใด   รากที่สามของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้  a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 

          หมายเหตุ :  รากที่สามของจำนวนจริงใด จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือ

อตรรกยะอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น  

 

 

คุณสมบัติของจำนวนเต็ม

จำนวนนับ  (counting number) คือ จำนวนที่เราใช้นับสิ่งของต่าง เริ่มตั้งแต่ 1, 2 , 3 , … หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า จำนวนธรรมชาติ (natural  number ) จำนวนนับจำแนกได้ 2 กลุ่มคือ จำนวนคู่ กับจำนวนคี่

1.1  จำนวนคู่ (odd number) คือ จำนวนนับที่มี 2 เป็นตัวประกอบ (หาร 2 ลงตัว) เช่น 2, 4 , 6 , 8 ,…. เป็นต้น

1.2  จำนวนคี่ ( even number) คือ จำนวนนับอื่นที่ไม่ใช่จำนวนคู่(หาร  2 ไม่ลงตัว) เช่น 1 ,3 , 5 , 7 …เป็นต้น

ตัวประกอบ( factor) คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นได้ลงตัว

เช่น        2  เป็นตัวประกอบของ  4  เพาะ 2 หาร 4 ได้ลงตัว

            5  เป็นตัวประกอบของ  15 เพาะ 5 หาร  15 ได้ลงตัว

จำนวนเฉพาะ ( prime number) คือ จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และตัวมันเอง เช่น 2, 3 , 5 , 7 , 11 ,…

การแยกตัวประกอบ (factoring ) คือ ประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนั้น ในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ

การแยกตัวประกอบนิยมใช้มี 3 วิธีคือ

4.1  ใช้แผนภาพต้นไม้ (treediagram) แล้วนำตัวประกอบเฉพาะทุกตัวที่อยู่ปลายกิ่งไม้ทุก กิ่งมาคู

                        50   =   5 x 2 x 5

4.2  ใช้การเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบร่วม (แนวคิดจากวิธีที่   1) เ ช่น  50 = 5 x 10  = 5 x 2 x 5

ใช้วิธีหารสั้นโดยใช้จำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของจำนวนนั้น มาหาร เช่น  จงแยกตัวประกอบของ 1155

 

           5   1155

             3     231

                7   77

                 11  11

                        1

1155 = 5 x 3 x 7 x 11

ตัวหาร่วมมาก (...)( greatest common divisor ) คือ ตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้นนั่นเอง

ตัวอย่าง   ค่ายลูกเสือแห่งหนึ่งมีลูกเสือมาพักแรม 3 กอง กองที่ 1 มี 45 คน กองที่ 2 มี 60 คน กองที่ 3 มี 90 คน  ถ้าจะแบ่งลูกเสือในแต่ละกองออกเป็นหมู่ ให้แต่ละหมู่มีสมาชิกเท่ากันและมากที่สุด จะต้องแบ่งลูกเสือออกเป็นหมู่ละกี่คน

วิธีทำ  จำนวนลูกเสือมากที่สุดคือ การหา ...  ของ 45 , 60 และ 90

                     5     45  60  90

                      3      9  12  18

                          3     4     6

        ... ของ 45 , 60 และ 90  คือ  5 x 3  =  15

ตัวคูณร่วมน้อย (...) (least common multiple ) คือ ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้นนั่นเอง

ตัวอย่าง  จงหา ... ของ 9  ,  30  และ  40

วิธีทำ                3    9   30  40

                        5    3  10    40

                         2    3    2     8

                               3    1    4

... ของ 9 , 30 และ 40  คือ  3 x 5 x 2 x 3 x 4  =  360

        ความสัมพันธ์ของ ... และ ... คือ ถ้า A เป็น ... ของ x กับ y   และ  B  เป็น ... ของ x  กับ  y  จะได้ว่า    AxB  =  (x)(y)

เช่น ... ของ 8 และ 12 คือ 24 และ ... ของ 8 และ 12 คือ 4 จะได้ว่า 

                                24x4 = 8x12   ®    96 = 96

 อสมการ

อสมการ  คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมี

สัญลักษณ์  " < ,  > ,  £ , ³ ,  ¹   บอกความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน   คำตอบของอสมการคือ จำนวนที่แทนตัวแปรแล้วในอสมการทำให้อสมการเป็นจริงหรือสอดคล้องกับอสมการ

หลักการแก้อสมการ

1.    คำตอบที่ได้จากอสมการจะอยู่ในรูปช่วง

2.    ถ้าคูณหรือหารด้วยค่าลบ(จำนวนจริงลบ) เครื่องหมายของอสมการต้องเปลี่ยนเป็นตรงข้าม

3.    การแก้อสมการกำลังสูงสุดแค่หนึ่งให้ใช้หลักการแก้เหมือนการแก้สมการคือย้ายข้างได้สำหรับการบวกและลบนิยมย้ายตัวแปรใว้ด้านหนึ่ง

4.    การแก้อสมการที่มีกำลังมากกว่าหนึ่ง

4.1         ทำทางขวามือของอสมการให้มีค่าเป็นศูนย์

4.2         แยกตัวประกอบของอสมการให้อยู่ในรูปผลคูณหรือผลหารของฟังก์ชัน

4.3         พิจารณาดูว่าค่าใดบ้างที่ทำให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับสูนย์

4.4         นำค่าที่ได้ใส่ลงในเส้นจำนวน โดยเรียงจากน้อยไปมาก

 

    น้อย               +        -      +        -       +          มาก

 


กำหนดให้ช่วงทางขวามือสุดเป็นค่าบวก  และถัดมาเป็นค่าลบ   บวก   ลบ……    สลับไปเรื่อย ตามจำนวนของช่วงที่มีอยู่

4.5         พิจารณาหาคำตอบ โดยใช้หลัก

(1)          ถ้าอสมการเครื่องหมาย > , ³ เลือกช่วงที่มีค่าบวก(+)  ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย "หรือ"

(2)          ถ้าอสมการเครื่องหมาย < , £ เลือกช่วงที่มีค่าลบ(-)  ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย "หรือ"

ค่าสัมบูรณ์

                    ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง a คือ IaI  โดยที่

                                  a  เมื่อ  a > 0

IaI  =    0  เมื่อ a = 0

          -a เมื่อ a < 0

     Share


ระบบจำนวน

<< แคลคูลัส~*ภาคตัดกรวย~* >>

Posted on Tue 5 Feb 2008 11:33
 
     
 
Name :
Email :
URL :
Comment :
กรอกตัวเลขก่อนส่ง
 
 
 
ดีคะ
ฝ้าย   
Tue 7 Oct 2008 9:00 [1]